Definicja funkcji wykładniczej, jej wykres i własności .
person
brightness_auto
1 odpowiedź
Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:
f(x) = ax, gdzie a > 0.
http://ofu.pl/xxggyk7y <= wykres
Własnośli :
* \quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y
* \quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}
* Dla a>1\quad funkcja wykładnicza o podstawie a\quad jest rosnąca, dla 0<a<1\quad malejąca. Jeśli \quad a=1 to funkcja \quad f(x)=a^x jest stała.
* Pochodna funkcji wykładniczej to:
(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}==a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a
(patrz dowód w logarytm naturalny)
Czyli w szczególności dla a=e\quad mamy
(e^x)'=e^x\quad
* Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 jest (przy argumencie dążącym do +\infty) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
f(x) = ax, gdzie a > 0.
http://ofu.pl/xxggyk7y <= wykres
Własnośli :
* \quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y
* \quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}
* Dla a>1\quad funkcja wykładnicza o podstawie a\quad jest rosnąca, dla 0<a<1\quad malejąca. Jeśli \quad a=1 to funkcja \quad f(x)=a^x jest stała.
* Pochodna funkcji wykładniczej to:
(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}==a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a
(patrz dowód w logarytm naturalny)
Czyli w szczególności dla a=e\quad mamy
(e^x)'=e^x\quad
* Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 jest (przy argumencie dążącym do +\infty) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.